Можно ли носить внучке (12 лет) крестик и цепочку освященную и подареную бабушке, которую она носила несколько лет? Бабушке на день рожденья была подарена другая. Надо ли освещать крестик и цепочку заново?

Пусть носит. А чего вы боитесь?... Все, что по этому поводу могут говорить в народе - пустое и от маловерия.

Это очень хороший подарок, создающий такую видимую преемственность в семье. Возьмем пример из жизни духовенства. Считается за большую милость Божию носить на груди крест, оставшийся от умерших священников. Церковные вещи усопших архиереев передаются как знаки  преемственности, хотя, конечно, сами по себе, без хранения правильной веры, они будут только внешними знаками.

Если уже однажды вещь освящена и не была осквернена, то больше ее не освящают. Я не думаю, что ваша бабушка могла как-то уничижать крестик своими действиями. Например, топтать его.

Спаси Христос!