Мы с моим молодым человеком хотим зарегестрировать наши отношения, но т.к. все уже занято наша свадьба выпадает на день рождение моей мамы. Можно ли играть свадьбу в этот день?

Со стороны церковных правил здесь препятствий нет. А у мамы - спросите сами.